矩阵实验室 · 课程大纲
闯关式线性代数交互课程：全程在画布上拖动向量、矩阵和网格，用几何直觉理解抽象概念。共 12 章 50 关，前 7 关免费，¥49 买断解锁全部关卡与沙盒模式。
进入课程 →第 1 章 · 向量与坐标
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1-1 · 放置你的第一个向量
向量不只是两个数字，它是空间中的一段位移。画布里横向是 x 轴、纵向是 y 轴，每个格子是 1 个单位。
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1-2 · 向量加法：首尾相接
向量相加就是把两段位移首尾相接。图中 a = (1, 2)，b = (2, 0)，它们的分量分别相加：a + b = (1+2, 2+0)。
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1-3 · 数乘：拉伸与反向
向量乘一个数（标量）就是按比例拉伸：2a 与 a 同方向、长度翻倍；−a 则方向相反。图中 a = (1, 2)。
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1-4 · 长度与单位向量
向量长度 |v| = √(x² + y²)（勾股定理）。长度为 1 的向量叫单位向量：只保留方向、去掉长度。把 v 调成与 u = (3, 4) 同方向的单位向量。
第 2 章 · 基向量与矩阵的列
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2-1 · 基向量与线性组合
î = (1, 0)、ĵ = (0, 1) 是标准基向量。任何向量都能写成它们的线性组合：v = x·î + y·ĵ。坐标 (x, y) 就是组合的系数。
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2-2 · 矩阵的列 = 变换后的基向量
一个 2×2 矩阵的两列，就是 î、ĵ 变换后的落点。拖动粉色 A î 的端点，看右侧矩阵第 1 列同步变化——这是理解矩阵最重要的一幅图。
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2-3 · 张成：能到达哪里？
两个不共线向量的所有线性组合能铺满整个平面——这叫它们的张成（span）。图中 u = (2, 1)、w = (1, 2)，试试用它们拼出目标点。
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2-4 · 线性相关：多余的列
如果一列是另一列的倍数，它就没有带来新方向——两列线性相关，张成从平面塌缩成一条线，行列式也随之变成 0。
第 3 章 · 线性变换
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3-1 · 矩阵 = 对整个空间的变换
矩阵作用于空间中的每一个点：整个网格随之变形。点击「播放变换」，看单位网格如何连续地变成变换后的样子。
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3-2 · 向量去哪了：v → Av
矩阵 A 把向量 v 映到 Av（绿色虚线）。因为变换是线性的，Av = x·A î + y·A ĵ——系数不变，只是基被换掉了。
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3-3 · 变换的形状：旋转 90°
旋转 90° 后，î 落到 (0, 1)，ĵ 落到 (−1, 0)。所以旋转矩阵就是 [[0, −1], [1, 0]]。试着用预设按钮或直接拖列向量拼出它。
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3-4 · 投影：把平面压到一条线上
投影把每个向量垂直投到一条直线上。投到 x 轴：î 不动、ĵ 落到原点，矩阵是 [[1, 0], [0, 0]]。整个平面被压扁——投影丢失了信息，所以不可逆。
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3-5 · 旋转任意角度
旋转 θ 角：î 落到 (cosθ, sinθ)，ĵ 落到 (−sinθ, cosθ)，所以旋转矩阵是 [[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]]。θ = 45° 时 cosθ = sinθ ≈ 0.707。
第 4 章 · 复合变换与矩阵乘法
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4-1 · 复合变换 = 矩阵相乘
先做旋转 B，再做剪切 A，等价于一个矩阵 A·B。注意顺序：右边先作用！矩阵乘法就是变换的复合。用工具条分别施加 A、B，再与 A·B 对比。
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4-2 · 顺序很重要：AB ≠ BA
先旋转再剪切，和先剪切再旋转，结果完全不同。分别点两个按钮看两种顺序的最终网格，体会矩阵乘法为什么不能交换。
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4-3 · 逐列看懂矩阵乘法
AB 的第 1 列 = A 乘以 B 的第 1 列。设 B = [[2, 0], [0, 1]]（x 方向放大 2 倍），A = [[1, 1], [0, 1]]（剪切）。亲手算出 AB，并验证它的每一列。
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4-4 · 三个变换的复合：结合律
三个变换复合时，(AB)C 和 A(BC) 结果相同——矩阵乘法满足结合律。按 C → B → A 的顺序依次施加（最右边的先作用），看最终矩阵。
第 5 章 · 行列式：面积的缩放
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5-1 · 行列式 = 面积缩放比例
单位正方形（蓝色）变换后变成平行四边形（绿色），面积缩放倍数就是 det(A)。拖动列向量，让所有面积都变成原来的 2 倍。
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5-2 · 负行列式 = 空间翻转
当 det(A) < 0，空间被翻转了（像照镜子）：î、ĵ 的左右手关系颠倒。观察 î→ĵ 的旋转方向变化。
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5-3 · det = 0：空间被压扁
当两列共线时，整个平面被压成一条线，面积变成 0——矩阵「丢失了一个维度」，这就是奇异矩阵。
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5-4 · det(AB) = det(A) · det(B)
A 把面积放大 2 倍，B 再放大 3 倍，复合变换自然放大 2 × 3 = 6 倍：det(AB) = det(A)·det(B)。亲手验证这个行列式最重要的性质。
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5-5 · det 与逆：det(A⁻¹) = 1/det(A)
A = [[2, 0], [0, 2]] 把面积放大 4 倍，那么撤销它的 A⁻¹ 必然把面积缩回 1/4。把矩阵改成 A⁻¹，验证 det(A⁻¹) = 1/det(A)。
第 6 章 · 逆矩阵：撤销变换
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6-1 · 逆矩阵 = 撤销变换
如果 A 把空间「变过去」，A⁻¹ 就把它「变回来」：A⁻¹·A = I。图中 A 把 x 方向拉成 2 倍，什么样的矩阵能撤销它？
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6-2 · 奇异矩阵没有逆
det = 0 的矩阵把平面压成了一条线——信息被压没了，无法还原，所以 A⁻¹ 不存在。亲手制造一个奇异矩阵，然后按「求逆」看会发生什么。
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6-3 · 用逆矩阵解方程
方程 Av = b 的两边同乘 A⁻¹，就得到 v = A⁻¹b。先用列图像把 v 拖出来，再点「求逆」验证 A⁻¹ 确实把 b 变回 v。
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6-4 · 复合的逆：(BA)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹
撤销复合变换必须逆序：就像先脱鞋后脱袜子。先依次施加 A（放大）、B（旋转），再按正确顺序用逆把它们撤销掉。
第 7 章 · 基变换
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7-1 · 同一向量，两套坐标
粉色、紫色箭头是一组新基（矩阵 B 的两列），绿色网格是它们的坐标格。v 还是那根箭头，但新基有自己的读法：v = c₁·b₁ + c₂·b₂，(c₁, c₂) 就是 v 的新基坐标（画布右上角实时显示）。
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7-2 · 坐标翻译器：B 与 B⁻¹
新基坐标 c 翻译成标准坐标：左乘 B（即 B·c）。反过来，标准坐标翻译成新基坐标：左乘 B⁻¹。矩阵 B 就是两种语言之间的翻译器。
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7-3 · 新基下的矩阵：B⁻¹AB
同一个变换 A，用新基的语言怎么写？B⁻¹AB：先把新基坐标翻译成标准坐标（B），再施加 A，最后翻译回去（B⁻¹）。亲手把这三步乘出来。
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7-4 · 好基让问题变简单
A = [[2, 1], [0, 1]] 在标准基下有点「拧巴」（带剪切）。但换到它两个特征方向组成的基 B = [[1, 1], [0, −1]] 下，B⁻¹AB 变成了对角矩阵：沿每个基方向独立缩放，互不纠缠。对比两种表示，体会基的选择有多重要。
第 8 章 · 特征向量与特征值
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8-1 · 特征向量：不被转向的方向
大多数向量经过 A 都会改变方向，但特征向量只被缩放、不被旋转：Av = λv。拖动 v（金色虚线是它的延长线），找到与 Av 共线的方向。
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8-2 · 特征值：缩放的倍数
共线时 Av = λv，λ 就是特征值：|λ| 是拉伸倍数，符号表示是否反向。这个矩阵是反射矩阵，找一找它的两个特征方向。
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8-3 · 对角矩阵的特征值
对角矩阵 [[2, 0], [0, 3]] 的特征向量就是两条坐标轴，特征值直接写在对角线上：λ₁ = 2、λ₂ = 3。它们的乘积正好是 det = 6。
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8-4 · 特征方向上的反复变换
回到 8-1 的矩阵 A = [[2, 1], [0, 1]]。先把 v 放回特征方向 (1, 0)，再反复施加 A——v 始终停留在特征方向上，只是每次被拉长 λ 倍。
第 9 章 · 解线性方程组
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9-1 · 列图像：把 b 拼出来
方程 Ax = b 的列图像：找系数 x，使 A 的两列的线性组合正好命中 b。拖动 x（金色），绿色 Ax 会随之移动——让它命中目标 b = (4, 1)。
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9-2 · 行图像：两条直线的交点
同一个方程组的行图像：每一行是一条直线（x + 2y = 4 与 x − y = 1），解就是两条直线的交点。拖动金色点找到它。
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9-3 · 无解：两条平行线
方程组 x + y = 2 与 x + y = 4 的图像是两条平行线——没有交点，方程组无解。从列图像看：b 不在两列的张成（同一条线）上。
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9-4 · 无穷多解：重合的线
方程组 x + y = 2 与 2x + 2y = 4 其实是同一个方程——两条线完全重合，线上每个点都是解：无穷多解。
第 10 章 · 走进三维空间
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10-1 · 三维空间与 3×3 矩阵
欢迎来到三维！3×3 矩阵的三列分别是 î、ĵ、k̂ 的落点。拖拽空白处旋转视角，从不同角度观察这三个列向量。
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10-2 · 三维行列式 = 体积缩放
单位立方体（蓝色）被 3×3 矩阵变成平行六面体（绿色），体积缩放倍数 = det(A)。拖动列向量端点，让体积变成 2 倍。
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10-3 · 三维旋转：绕 z 轴转 90°
绕 z 轴旋转时，k̂ 不动，î、ĵ 在 xy 平面内转 90°。所以矩阵第 3 列是 (0, 0, 1)，前两列和二维旋转一样：[[0, −1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]。
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10-4 · 三维 det = 0：压成一个平面
当三个列向量共面时，平行六面体被压扁，体积变成 0——三维空间塌缩成一个平面（甚至一条线），矩阵奇异。亲手压扁这个立方体。
第 11 章 · 点积与对偶性
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11-1 · 点积：分量相乘再相加
两个向量的点积是一个数：u·v = uₓvₓ + u_y v_y。图中 u = (2, 1)，画布右上角实时显示 u·v——拖动 v，观察它怎么变。
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11-2 · 几何意义：投影的长度
u·v 的几何含义：v 在 u 方向上的投影长度 × |u|。图中绿色箭头是 v 在 u = (3, 0) 上的投影，虚线是垂线。
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11-3 · 点积的符号：锐角、直角、钝角
点积的符号透露夹角：u·v > 0 是锐角，= 0 是垂直，< 0 是钝角。因为 u·v = |u||v|cosθ，符号全由 cosθ 决定。
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11-4 · 对偶性：点积是一个 1×2 矩阵
固定 u = (2, 1)，映射 v ↦ u·v 把平面向量变成一个数——它是一个从 2D 到 1D 的线性变换，矩阵是 1×2 的 [2 1]，正好是 u 躺下来（转置 uᵀ）。向量与线性函数之间的这种对应，就叫对偶性。
第 12 章 · 叉积
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12-1 · 二维叉积 = 有向面积
二维里两个向量的叉积是一个数：u×w = uₓw_y − u_y wₓ，正好等于 det([u w])——平行四边形的有向面积。拖动两列，重温第 5 章的面积，这次注意它的符号。
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12-2 · 三维叉积：垂直于两者的向量
三维中 a×b 是一个向量：它同时垂直于 a 和 b，方向由右手定则给出（四指从 a 卷向 b，拇指即方向）。图中 a = (2, 0, 0)、b = (1, 2, 0)，绿色箭头是实时算出的 a×b。
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12-3 · 叉积的长度 = 平行四边形面积
|a×b| = |a||b|sinθ，正好是 a、b 张成的平行四边形面积。拖动矩阵的前两列（粉色、紫色箭头），绿色叉积向量的长度会实时变化。
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12-4 · 叉积与行列式：对偶的回归
把 a×b 与第三个向量 c 点积：(a×b)·c = det([a b c])——平行六面体的有向体积。「与 c 点积」这个线性函数，其对偶向量正是 a×b，第 11 章的对偶性在三维回来了。